保険証（ID Card）が届く前に病院に行ける？

行けます。Benefits Enrollment完了後は保険会社のアプリやWebで仮のID（Member ID）を表示でき、それを提示すれば受診できます。人事から加入番号を教えてもらうだけでも、医療機関側で照会できることが多いです。どうしても確認できない場合は一旦自己負担で払い、後日保険会社に請求（Claim）します。領収書と診療明細を必ず保管してください。